تئوری فراکتال و کاربرد آن

Using of Fractal Concepts for Studying of Effectiveness

نقد و بررسی هنر(موسیقی)

فراکتال(اثر پروانه ای) و کاربرد آن در موسیقی (II)

"يک شکل فراکتالي مجموعه اي از اشکال در هم پيچيده و مجزاست بطوريکه اگر يک قطعه از آن را بزرگ کنيم، شکل حاصل همانند شکل نخستين در خواهد آمد و همچنين با احتمالي اندک بدشکل و بيريخت خواهد شد"

اساس ساخت فراکتال همان چيزي است که در رياضي به آن تکرار ميگوييم. هر گاه روي يک معادله غيرخطي تکرارپذيري صورت گيرد ميتوان به يک شکل فراکتالي رسيد. الگوريتم اين کار به اين صورت خواهد بود:
1- يک ورودي (x) را به تابع بدهيد.
2- جواب تابع را برحسب ورودي داده شده به آن حساب کنيد
(f(x) =y1)

3- جواب بدست آمده از مرحله قبل (y1) را مجددآ به عنوان يک ورودي جديد درون همان تابع جايگزين کنيد
(y2=f(y1))

4- براي بدست آوردن مقادير بعدي، مرحله سوم را به ازاي انديس هاي بعدي، تکرار کنيد.

تا بدين جا توانستيم بصورت خيلي ساده براي فراکتالي که به روش تکرار روي تابع دلخواه (f) توليد ميشود، مقادير خروجي را بدست آوريم. حال اگر قرار باشد اين فراکتال را روي صفحه نمايش در يک کامپيوتر داشته باشيم، بايد بين خروجي هاي عددي و پيکسل هاي صفحه نمايش، يک تناظر (نگاشت) ايجاد نماييم. در نهايت بسته به دقتي که روي مقادير ورودي داشته ايم، شکلي دقيقتر بدست خواهيم آورد؛ در واقع هرچه مقادير داده شده به تابع در دقتهاي کوچکتري باشند، شکل نهايي نيز دقتي بالاتر خواهد داشت.

فراکتالها اشکال هندسي عجيبي هستند که قوانين هندسه اقليدسي را در هم ميشکنند و نميتوان براي توصيف آنها از هندسه اقليدسي کمک گرفت. در هندسه اقليدسي اکثر اشکال مثل دواير، مثلثها، مربع ها و ديگر چند ضلعي ها داراي محيط و مساحتي مشخص و قابل محاسبه هستند و چنانچه به آنها بنگريد، محيط آنها را يک خط يا منحني ميبينيد؛ در صورتي که در فراکتال ها چنين نيست.

فراکتالها داراي محيط و مساحتي نامتناهي هستند. زيرا هر چه بيشتر روي محيط يک فراکتال دقت کنيد، مقدار بيشتري برآمدگي و منحني و ناهمواري ها و شکست ها و پيچش هاي مختلف را در آنها مشاهده ميکنيد که با وجود اين ناهمواري ها و منحني هاي بيشمار، محاسبه يک فاصله از دو نقطه روي فراکتال غيرممکن و امري محال است.

از آنجايي که اشکال فراکتالي نامتناهي هستند لذا ترسيم يک فراکتال بصورت کامل و با تمام جزئيات امکان پذير نميباشد. بايد اضافه کرد که با تئوری فراکتال و کاربرد آن وجود اينکه نميتوان شکل دقيقي از يک فراکتال کشيد ولي همه ما ميتوانيم فراکتال را بصورت تقريبي رسم کنيم. تقريب استفاده شده در يک شکل فراکتالي به عمق فراکتال برميگردد و در عمق بيشتر، تصوير فراکتالي تقريب زده شده به شکل واقعي نزديکتر خواهد شد.

انواع اشکال فراکتالي را ميتوان در دو دسته کلي جا داد:
• فراکتالهاي خودتکرار کننده (self-repeating) که از فرمول هاي تکرارشونده ساده اي استفاده کرده و اشکالي ساده، مانند برف دانه کخ ( Koch snowflake) و مثلث سرپينسکي (Sierpinski triangle) خواهند داشت. از اين گروه ميتوان به فراکتالهاي تئوري IFS و فراکتال هاي سيستمهاي L يا(L-systems) وGraftals و همانند اينها اشاره کرد.
• فراکتالهاي خود متشابه (self-similar) که از نماي کلي شبيه به خود تکرار کننده ها هستند ولي در واقع اجزايي متفاوت از شکل کلي خود دارند؛ همانند مجموعه مندلبورت (Mandelbrot set)

موسيقي فراکتالي
با استفاده از فراکتالها به طرق مختلف ميتوان به آهنگسازي و صدا سازي پرداخته و يا حتي از آنها ايده هايي جديد براي يک اثر هنري گرفت. راز نهفته در يک موسيقي فراکتالي همان چيزي است که در رياضيات به آن نگاشت (map) ميگويند.

نگاشت به اين معني است که يک ارتباط مستقيم و متناظر بين خروجي هاي عددي ( که از معادله حاصل ميشوند) و پارامترهاي خاصي (که براي ساخت آهنگ بکار ميروند)، ايجاد کنيم. همانطور که براي تصوير کردن يک عکس فراکتالي، خروجي هاي تابع را به پيکسل هاي صفحه نمايش نگاشت ميکرديم، حال بايد پارامترهاي ساخت آهنگ را به آن خروجي ها نگاشت کنيم.

پارامترهاي ساخت آهنگ فراکتالي ميتوانند شامل فرکانسها، اوزان، ديناميک و ديگر موارد در آهنگسازي باشند. از آنجا که پارامترهايي که در يک موسيقي فراکتالي بکار ميروند بيشتر از يک عکس فراکتالي هستند، ميتوان انتظار آهنگهايي متنوع تر نسبت به يک عکس فراکتالي را از يک فرمول واحد داشت. در مقاله بعد بيشتر به اين موضوع پرداخته و همچنين نرم افزارهاي آهنگسازي با استفاده از فراکتال ها را معرفي خواهيم کرد.

معرفی و دانلود PDF کتاب اسرار فراکتال

برای دانلود قانونی کتاب اسرار فراکتال و دسترسی به هزاران کتاب و کتاب صوتی دیگر، اپلیکیشن کتابراه را رایگان نصب کنید.

برای دانلود قانونی کتاب اسرار فراکتال و دسترسی به هزاران کتاب و کتاب صوتی دیگر، اپلیکیشن کتابراه را رایگان نصب کنید.

دانلود کتاب از اپلیکیشن کتابراه

معرفی کتاب اسرار فراکتال

میلاد اسکندردوست در کتاب اسرار فراکتال، به صورت کاربردی و با قلمی روان به تحلیل و بررسی هندسه‌ی عجیب و پیچیده‌ی فراکتالی می‌پردازد.

فراکتال‌ها (Fractal)، هندسه‌ای عجیب و ناآشنایی هستند و با هر چیزی که تا به الان خوانده‌اید و دیده‌اید، تفاوت دارند. فراکتال و یا برخال شاخه‌ی جدیدی از ریاضیات و هنر است. بیشتر مردم از فراکتال‌ها به عنوان تصاویر زیبایی برای پس زمینه صفحه نمایش رایانه و یا کارت پستال یاد می‌کنند اما فراکتال‌ها واقعا چه هستند؟

هندسه فراکتالی بسیار فراتر از تفکرات عادی مردم درباره ریاضیات می‌باشد که از آن به عنوان فرمول‌های پیچیده و خسته کننده یاد می‌کنند. این هندسه آمیخته‌ای از ریاضیات با هنر است و نشان می‌دهد که معادله‌ها تنها یک مجموعه عدد هستند نه چیزی بالاتر! چیزی که فراکتال‌ها را جذاب‌تر می‌نماید، این است که بهترین توصیفات را برای بسیاری از پدیده‌های طبیعی، مانند کوه‌ها، سواحل، موجودات زنده و. دارند.

بنوئیت مندلبروت ریاضیدان بزرگ لهستان - فرانسه - آمریکایی بود. بنوئیت مندلبروت در تفکر این بود که علم جدیدی را برای توصیف ناهمواری، بی‌نظمی و چیزهایی که واقعاً غیر اقلیدسی هستند، خلق کند.

کشف هندسه فراکتال توسط مندلبروت راهی کاملا جدید برای مطالعه و توصیف دنیای طبیعی می‌باشد. این دانش مدرن راهی را نیز برای علوم جدید باز کرده است. فراکتال‌ها از لحاظ زیبایی لذت‌بخش هستند، اغلب زیبایی خیره کننده را در ظریف‌ترین شیوه‌ها نشان می‌دهند. کشف مندلبروت یکی از زیباترین دستاوردهای نوع بشر است.

اکنون می‌بینیم که فراکتال‌ها تئوری فراکتال و کاربرد آن در همه جا وجود دارد و می‌توانیم جهان را از طریق چشم‌های فراکتال مشاهده کنیم. کتاب اسرار فراکتال (fractal secrets) با محوریت کشفیات بنوئیت مندلبروت می‌باشد البته بسیاری از ریاضیدانان در نظریه فراکتال سهیم می‌باشند اما این بنوئیت بود که بیشترین کشف، تأثیر تئوری فراکتال و کاربرد آن و پژوهش عمیق را در مورد جهان فراکتالی به انجام رسانید. او همچنین کاشف مشهورترین و اعجاب‌انگیز‌ترین فراکتال یعنی مجموعۀ مندلیروت است که تقریبا بنیان و اساس تمام فراکتال‌ها محسوب می‌شود.

بنوئیت مندلبروت را بیشتر بشناسیم:

بنوئیت مندلبروت (Benoit Mandelbrot) در ورشو لهستان متولد شد. او علاقه به علم هندسه را خیلی زود از خود بروز داد. بنوئیت در سال 1958 به آمریکا رفت و در مرکز تحقیقات توماس ج. واتسون در آ بی ام (IBM) مشغول به کار شد و به مدت 35 سال در آنجا باقی ماند.

در بخشی از کتاب اسرار فراکتال می‌خوانیم:

فراکتال‌ها بی‌نهایت پیچیده هستند. آن‌ها جزئیات بیشتر و بیشتری را بدون محدودیت در مناطق و مقیاس‌های کوچک و کوچک‌تر نشان می‌دهند. موجودات فراکتالی (برخالی) بسیار بسیار شگفت‌انگیز می‌باشند. هر جزء برخال شبیه به کل است. از بین بردن یک فراکتال امکان‌پذیر نیست چرا که از بین بردنش بدون نابود کردن تمام آن امکان‌پذیر نیست، زیرا مانند موجودات زایای جهان واقعی، بی‌وقفه از اعماق‌اش، موجوداتی به عنوان مثال در منحنی برف دانه کخ، مثلت‌هایش - سر بر می‌آورد. این ماهیت اسرارآمیز فراکتال‌ها است. اگر بخشی از آن باقی بماند، آن بخش اساس برخال را حفظ می‌کند و به نوبه خود می‌تواند خود را از نو ایجاد کند؛ وقتی که به تصویر یک برخال نگاه می‌کنید، آن را در یک لحظه از زمان می‌بینید؛ برخال در مرحله معینی از رشد سرسام‌آور خود ثبت شده است.

برخال‌ها موجوداتی به غایت هیولاگونه و دیوانه‌واری می‌باشند؛ بعضی از آن‌ها توابع پیوسته‌ای هستند که مشتق‌پذیر نیستند، تعدادی از آن‌ها مساحت محدود و محیط نامحدود دارند و بعضی دیگر می‌توانند فضا را کاملا پر کنند. در نتیجه برخال‌ها آن چنان دور از درک بشریت هستند که ریاضیدانان قرن 19 آن را نپذیرفتند زیرا از قواعد ریاضی آنان پیروی نمی‌کرد. می‌توانید به یک فراکتال زوم کنید و الگوها و شکل‌ها برای همیشه تکرار خواهد شد و تئوری فراکتال و کاربرد آن این بسیار بسیار حیرت‌انگیز است فراکتال‌های ریاضی، بی‌نهایت پیچیده هستند. الگو و قاعده خلق یک فراکتال تا ابد به طور بی‌نهایت پیچیده‌ای ادامه می‌یاید و همیشه ساختارها در هر مقیاسی ظاهر می‌شوند.

فهرست مطالب کتاب

فصل 1: تاریخچه فراکتال و ریاضیدانان تأثیرگذار
فصل 2: بنوئیت مندلبروت
فصل 3: تعریف فراکتال
فصل 4: انواع فراکتال
فصل 5: فراکتال‌های هندسی
فصل 6: فراکتال‌های جبری
فصل 7: فراکتال‌های تصادفی
فصل 8: فراکتال‌های سه بعدی
فصل 9: فراکتال‌های طبیعی: فراکتال و طبیعت
فصل 10: فراکتال‌های مصنوعی و مهندسی
فصل 11: فراکتال و کامپیوتر